§1. Бірсарындылық белгілері

«Заманауи компьютердің беретін мүмкіндігін жоғары дәрежеде пайдалану үшін математикалық білімнің қажеті бар ма? "Онсыз мүмкін емес" деген болжам жасап көрейін. Неліктен? Өйткені, компьютер құбылмалы Янусқа ұқсас. Бір жағынан – «темір». Темірдің ең маңызды жақтарын тек математика сипаттай алады және де едәуір абстрактілі, «лайықсыз» бөлімдерде қаралады. Екінші жағынан – «софт». Интерфейстердің жұқа қабаты және кодтың геологиялық қатпарлары астында Буль алгебрасының мықты қаңқасы жатыр. Тәжірибелік қажеттіліктерден емес, сонымен бірге ХІХ ғасырдағы математиктердің жасаған іс-әрекеттерінен туындаған тәртіп ғылымға да аздаған жүйелілік енгізді.»

М. Ваннах

Графиктер

1-жаттығу

y=k(x)+m сызықтық функцияларының графиктерін бір жазықтықта салыңдар: y=x+3, y=12x-3, y=2x, y=3x-1, y=7x-5, y=-12x-3, y=-2x, y=-3x-1, y=-7x-5.

k коэффициентінің оң және теріс таңбалы мәндері бар графиктерді түрлі түсті қарындашпен кескіндеңдер.

k коэффициентінің таңбасына тәуелді сызықтық функцияның бірса­рындылығы туралы қандай қорытынды жасауға болады?

2-жаттығу

1-суретте қандай да бір y=f(x) функциясының графигі кескінделген.

1-сурет

Еске түсіреміз: егер графиктің абсциссасы x нүктені қамтитын жеткілікті аз бөлігі түзудің кесіндісіне ұқсас болса, онда f(x)  функциясының x нүктесінде туындысы бар және туындының мәні осы нүктеде жүргізілген жанаманың k бұрыштық коэффициентіне тең. Олай болмаған жағдайда x нүктесінде туынды болмайды деп есептейміз (мысалы, х=–3 және х=7 «сыну» нүктелерінде).
​а) х-тің мәнін біртіндеп –5-тен 9-ға дейін арттыра отырып, графиктің тиісті нүктесінде жүргізілген жанаманың k коэффициентінің таңбасы қалай өзгеретінін бақылаңдар. Жекелеген сан өсінде f'(x)  туындысының таңбасын көрсетіңдер.

ә) функциясының өсу аралығы мен кему аралығын табыңдар. а) және ә) пункттерінің нәтижелері өзара қалай байланысқан? Себебі неде?

б) x=–1, x=3 нүктелерінде k және f'(x)  неге тең?

y=kx+m – сызықтық функция және k>0.

Егер x1>x2 – кез келген сандар болса, онда y1-y2=kx1+m-kx2+m==kx1-x2>0, y1>y2. Аргументтің үлкен мәніне сызықтық функцияның үлкен мәні сәйкес келеді (2-сурет).

Демек, егер k>0 болса,онда y=kx+m функция­сы– қатаң өспелі. Осыған ұқсас, егер k<0 болса, онда y=kx+m функциясы – қатаң кемімелі екендігі дә­лелденеді.

2-сурет

Теорема

Егер белгілі бір аралықтың барлық нүктелерінде функцияның туындысы бар және оң болса, онда осы аралықта функция өспелі. Егер белгілі бір аралықтың барлық нүктесінде функцияның туындысы бар және теріс болса, онда осы аралықта функция кемімелі болады.

Дәлелдеу

Егер аралықтың барлық нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда оның әрқайсысы арқылы графикке жанама жүргізуге болады. Егер барлық нүктедегі туынды нөлден артық болса, онда барлық жанаманың көлбеулік коэффициенті оң болады. Кез келген нүктенің жеткілікті аз аймағында сәйкесінше график бөлігінің жанаманың бөлігінен айырмашылығы жоқ болады. Жанама өспелі сызықтық функцияның графигі болып табылады. Демек, бүкіл график өспелі функцияның графигі болып саналады.

Теореманың екінші бөлімі осыған ұқсас дәлелденеді.

Функцияның туындысын табу үшін қолданылатын аналитикалық өрнекті табу, шын мәнінде, қарапайым операцияларды орындау екеніне көз жеткіздіңдер. Осындай операцияларды орындай білу функцияны зерттеу барысында қуатты құрал болады.

2-жаттығуды орындау барысында сендер мынаны түсінген боларсыңдар: интервалдағы үзіліссіз функцияның туындысының таңбасы, сонымен қатар бірсарындылық сипаты туынды 0-ге тең болатын нүктеде немесе туындысы жоқ нүктеде қарама-қарсы таңбаға және сипатқа өзгереді. Мұндай нүктелерді бір терминмен атаған жөн.

Анықтама

(а;b) аралығында бөлікті-тегіс үзіліссіз f функциясы берілсін. f функциясының туындысы нөлге тең болатын немесе туындысы жоқ болатын ішкі нүктелерді функцияның кризистік нүктелері деп атайды.

Функция анықтамалары

«Бөлікті-тегіс» термині мынаны білдіреді: функцияның графигіне бір немесе бірнеше нүктелерден басқаларының бәрі арқылы жанама жүргізуге болады. Туындысы 0-ге тең болатын немесе туындысы болмайтын анықтау облысының ішкі нүктелері ғана кризистік нүктелер бола алады.

Егер нүкте кризистік нүкте болса, онда функцияның бірсарындылық сипаты осы нүктеде өзгермеуі де мүмкін. Классикалық мысал: y=x3, x-;+. Оның туындысы y=3x2 және x=0 нүктеcінде 0-ге тең, яғни y=x3 функцияның кризистік нүктесі x=0. Алайда, х<0 және х>0 болғанда да, туындының таңбасы оң болады. y=x3 функциясы бүкіл анықталу облысында өспелі (3-сурет).

Функцияның бірсарындылығын зерттеу үшін келесі қадамдарды жасау керек:

1. Функцияның анықталу облысын табу керек және үзіліссіздікке зерттеу керек.

2. Функцияның туындысын және кризистік нүктелерін табу керек.

3. Шеткі нүктелері кризистік нүктелер немесе үзіліс нүктелері, немесе анықталу облысының шекаралары болатын барлық аралықтағы туындының таңбасын интервалдар әдісімен анықтау керек.

4. Әрбір аралықтағы функцияның бірсарындылық сипаты туралы қорытынды жасау керек. Туынды өзінің таңбасын өзгертпейтін кризистік нүктелерін бірсарындылық аралыққа еңгіземіз.

3-сурет

1-мысал

f(x) = x4 + 4x3 функциясының бірсарындылық аралығын табың­дар.

Шешуі.
1. D(x) =-;+, fx функциясы D(f) жиынында үзіліссіз.

2. f(x)=4x3+12x2, D(f) жиынының кез келген нүктесінде f'(x)  туындысы бар.

f(x)=04x3+12x2=0x2x+3=0, x=0 және x=–3 – кризистік нүктелер.

3.

4. -;-3 кему аралығы, -3;+ өсу аралығы.

2-мысал

fx=x-1x2-2 функциясының бірсарындылық аралығын табыңдар:

Шешуі.

1. Анықталу облысы x2-2>0 теңсіздігімен анықталады,

x-;-22;+.

2. f'x=x-1'x2-2-x2-2'x-1x2-2==x2-2-xx-1x2-2x2-2=x-2x2-2x2-2.

f'(x)  -тің аналитикалық формуласы f(x) функциясының барлық анықталу облысында бар болуын қамтамасыз етеді. Демек, х-тің тек f′(x)=0 теңдігін қанағаттандыратын нүктелері ғана берілген функцияның кризистік нүктелері болып табылады: f'x=0x-2x2-2x2-2=0x=2.

3. Туындының таңбасын анықтаймыз.

4-сурет

4. -;-2, 2;2 кему аралығы, 2;+ өсу аралығы.

3-мысал

fx=3x-sin2x функциясының бірсарындылық аралығын табыңдар.

Шешуі. Df:-;+; fx; функциясы барлық анық­талу облысында үзіліссіз. Функцияның туындысын табайық: f'x=3x-sin2x'=3-2cos2x. Функция­ның өсу аралығы теңсіздігі арқылы анықталады, яғни 3-2cos2x>0. Теңсіздікті шешіп, функция xπ12+πk; 11π12+πk, k, аралығында өсетінін көреміз.

Осыған ұқсас, f'x<03x-cos2x<0 теңсіздігін шешу арқылы кему аралығы табамыз: -π12+πk; π12+πk, k.

4-мысал

p параметрінің қандай мәндерінде g(x)=2cosxpx функциясы өзінің бүкіл анықталу облысында кемімелі болады?

Шешуі. Dg:-;+; g(x) функциясы кез келген p үшін өзінің анықталу облысында үзіліссіз, g'x=-2sinx-p. Егер кез келген x үшін g'x<0 болса, онда 2sinxp<0, p>2sinx болады.sinx-1;1 болғандықтан, p>–2sinx тең­сіздігі барлық x үшін p>2 болғанда ғана орындалады. p=2 жағдайын қарастырайық:

x=-π2+2πn, n болғанда g(x)=2sinx2=0x=-π2+2πn топтамасы – кризистік нүктелер жиыны, бұл нүктелерде туынды таңбасын өзгертпейді, себебі, егер x-π2+2πn болса, онда sinx1, sinx>1, g(x)=2sinx2<0.

Жауабы: p ≥ 2.

Есептер

1-бөлім

​а) fx=-5x+4,

ә) gx=3x2-12x+11,

б) hx=-x33-7x22+8x+cosπ3

2. (2) Функцияның өсу және кему аралықтарын табыңдар:

​а) fx=-x4+3x3-9, б) gx=3x5-20x3+87, в) hx=x-23x

  • ( −∞; 2 + 1/4 )
  • (2 + 1/4; + ∞)
  • (-∞, -2) U (2, ∞)
  • (-2,0) U (0,2)
  • (-1, 0) U (0,2) U (2, ∞)
  • (-∞, -1)
  • а) үшін аралықты көбейту
  • а) үшін төмендеу аралығы
  • b) үшін аралық
  • b) үшін төмендеу аралығы
  • в) үшін аралық
  • в) үшін төмендеу аралығы

3. (2) Функцияның бірсарындылығын зерттеңдер:

а) fx=6x+24, б) fx=x2-4, в) hx=x1-x2, г) ux=x-1x2-2.

          • (−√2 / 2; √2 / 2) аралықтың жоғарылауы
          • (−∞; −√2), (√2; 2) аралықты азайту
          • [2 ; +∞)
          • [−4; + ∞) аралықты көбейту
          • (2; + ∞) аралықтың артуы
          • (−∞; −2] аралықты азайту
          • [−1; √2 / 2), (√2 / 2; 1] төмендеу аралықтары

          4. (2)fx=x-14x+175-x3x+36 қандай да бір F(x) функциясының туындысы. F(x) функциясының кему аралығын табыңдар.

          ұлғайту аралығы

          түсетін аралықтар

          а)fx=13x3-x2+x-2014 функциясы барлық анықталу облысында өседі;

          6. (3)fx=13cos3x-13sin3x-2xфункциясы туындысының мәндер жиынын анықтап, F(x) функциясы неліктен барлық анықталу облысында кемитінін түсіндіріңдер.

          ​7. (2) Функциялардың бірсарындылық аралығын (туындыны пайдаланып) анықтаңдар (туынды арқылы):

          а) fx=cosx-3, б) gx=x+sin2x,

          в) hx=5sinx-π8cosx-π8-522x

          • (2πk ; π + 2πk)
          • (−π + 2πk ; 2πk)
          • (−π/3 + πk ; π/3 + πk)
          • (π/3 + πk; 2π/3 + πk)
          • (πk ; π/4 + πk)
          • (π/4 + πk; π + πk)
          • а) аралықтарды көбейту 
          • а) үшін төмендеген интервалдар
          • b) үшін аралықтарды көбейту
          • b) үшін төмендеген интервалдар
          • в) аралықтарды көбейту
          • в) төмендеу аралықтары

          8. (3) Егер a2=102 және a3=202болса, онда  an арифметикалық прогрес­сия­ның неше мүшесі gx=x33-20152x2+2014x-2013функциясының кему аралығына тиісті?

          • 21
          • 20
          • 10
          • 11

          9. (3) a параметрінің қандай мәнінде fx=x2+2ax-17функциясы:

          ​а)x-;4аралығында кемиді жәнеx4;+аралығында өседі; 

          ә)x-;4аралығында кемиді

          2-бөлім

          10. (2) Функцияның бірсарындылық аралығын анықтаңдар:

          а) fx=xsin15π7-67;       

          ә)gx=arccos-1-2πx2+7xtg15π4+777sin6;

          б) hx=x3+x2tg25π3-9x+7arcsin23.

          11. (2) Функцияның өсу және кему аралықтарын табыңдар:

          а) fx=x5-5x4;

          ә) gx=-5x8+64x5+arcctg2015;

          б) hx=x+171-x.

          12. (2) Функцияның бірсарындылығын зерттеңдер:

          а) fx=5-x;                 ә) gx=12-x-x2;

          б) hx=x8-x2;            в) ux=x+13-x2.

          13. (2) F(x) функциясының туындысы fx=x2014x2-12015x+1144-x5 функциясы болады. F(x) функциясының өсу аралықтарын табыңдар.

          14. (3) Дәлелдеңдер:

          а) fx=-x3+9x2-27x+2015 функциясы барлық анықталу облысында кемиді;

          ә) gx=2x-sin2x функциясы барлық анықталу облысында өседі;

          б) hx=arctgx-x функциясы барлық анықталу облысында өседі.

          15. (3) fx=sin2014x+cos2014x+2x+11 функциясы туындысының мәндер жиынын анықтап, функциясы барлық анықталу облысында неліктен кемитінін түсіндіріңдер.

          16. (2) Функцияның бірсарындылық аралығын (туындыны пайдаланып) анықтаңдар:

          а) fx=5sin-x+5tg5;

          ә) gx=-2cos3x-6xcos3π4;

          б) hx=sin4x-π3-2x.

          17. (3) Арифметикалық прогрессияның екінші және төртінші мүшелерінің қосындысы 12-ге, ал прогрессияның алғашқы 10 мүшесінің қосындысы 110-ға тең. Берілген прогрессияның неше мүшесі hx=-x33+7x2+15x-16 функциясының кему аралығына тиісті емес?

          18. (3) р параметрінің қандай мәндерінде fx=x3+3px2+76 функциясының кему аралығының ұзындығы 12-ге тең болады?

          19. (3) Екі материалдық нүктенің арақашықтығы кеңістікте t0=0 мезетінен бастап, уақыттан тәуелді St=t2-2t+26 функциясы арқылы сипатталатындай болып қозғалады. Нүктелердің арасындағы ең кіші арақашықтық қаншаға тең болуы мүмкін?

          Егер алғашқы n мүшесінің қосындысы Sn=5n²–2n болса, онда арифметикалық прогрессияны табыңдар. 

          • 3 ; 13 ; 23 ; 33 … .
          • 5 ; 15 ; 25 ; 35 … .
          • 1 ; 11 ; 21 ; 31 … .
          • 7 ; 17 ; 27 ; 37 … .

          Шахмат клубта 20 бозбала кездесті. Олардың кейбірі қалпақ киеді, кейбіреуі қалпақ кимейді. Арасында бозбалалардың бірі қалпағын шешіп, қалпағы жоқтардың біріне кигізеді. Ең соңында 10 бозбаланың кез келгені қалпақ алғандарға қарағанда қалпақ бергендердің көп екенін санады. Неше бозбала шахмат клубына қалпақпен келген?

          • 7
          • 10
          • 5
          • 0

          Ұшақ бастапқыда 220 км/сағ жылдамдықпен ұшты. Ұшып өткен қашықтықтан 385 км кем қашықтық қалғанда оның жылдамдығы 330 км/сағ болды. Ұшақтың барлық жолдағы орташа жылдамдығы 250 км/сағ. Ұшақ қанша арақашықтықты ұшып өтті?

          • 1375 км
          • 1375 м
          • 1355 км
          • 1355 м

          Жауаптары

          1.a) f(x) аралықта азаяды x(-;+); ә) g(x) төмендейді x(-;2) бойынша өседі x(2;+);  б) (-8;1) ұлғайту аралығы, (-;-8),(1;+) түсу аралығы.2. а) -;214 ұлғайту аралығы,  214;+ түсу аралығы;ә)[-4;+), ұлғайту аралығы,  -;-2 түсу аралығы;б) (-;-2), (2;+), ұлғайту аралығы,  -2;2 түсу аралығы3. а) [-4;+) ұлғайту аралығы; ә)(-;-2] түсу аралығы, [2;+) ;б) [-1;22), ( 22;1] түсетін аралықтар, -22;22 ұлғайту аралығы;  в) ( -;-2),(2;2) түсу аралығы, ( 2;+) ұлғайту аралығы.4. (-1;5)  ұлғайту аралығы, (-3;-1), (-3;-1), (5; +) түсу аралығы.7.   а ) (2πk;π+2πk) ұлғайту аралығы, ( -π+2πk; 2πk) түсу аралығы;  ә) -π3+πk;π3+πk ұлғайту аралығы, π3+πk;2π3+πk түсу аралығы; б) πk;π4+πk ұлғайту аралығы, π4+πk;π+πk  түсу аралығы. 8. 21.  9. а) a=4 ; ә) a4 . 

          10.  а) ( ;+) ұлғайту аралығы;  ә) ( ;-7)  ұлғайту аралығы, (-7;+) түсу аралығы;  б) ( 3;1) түсу аралығы, (;-3), ( 1;+) ұлғайту аралығы. 11. а) (;0) , ( 4;+) ұлғайту аралығы, (0;4) түсу аралығы; ә) (;2) ұлғайту аралығы, (2;+) түсу аралығы;  б) (;1) , 1;43 ұлғайту аралығы, 43;+ түсу аралығы. 12. а) бүкіл доменде азаяды x  (;5];  ә) [ -4; -0,5) ұлғайту аралығы, (- 0,5;3] түсу аралығы;  б) (-2;2) ұлғайту аралығы, [-22;-2),(2;22]  түсу аралығы; в) (-3; 3) ұлғайту аралығы. 13. F(x) функциясы аралықтарда артады (;1) и (1;4) . 16. а) π2+2πk;3π2+2πk ұлғайту аралығы, -π2+2πk;π2+2πk  түсу аралығы;  ә)-π12+2πk3;5π12+2πk3  ұлғайту аралығы, -π4+2πk3;-π12+2πk3 түсу аралығы;    б) πk2;π6+πk2 ұлғайту аралығы,-π3+πk2;πk2 түсу аралығы. 17. 7.     18. 6 ± .19. 5.     20. 3; 13; 23; 33  . 21. 10. Нұсқау . Егер джентльмен шляпасыз болса, онда ол алғаннан гөрі көп уақыт бере алмайды. 22. 1375 км.

          Өтінемін күте тұрыңыз