Экстремумдар және кризистік нүктелер

1-жаттығу

Локальді экстремум анықтамасын тауып, қайтадан оқып шығыңдар. Алдыңғы параграфтың 2-жаттығуындағы графиктен экстремум нүктелерін табыңдар. х айнымалының мәнін –5-тен 9-ға дейін біртіндеп арттырып, кризистік нүктелердегі туынды таңбасының өзгеруін қадағалаңдар. Экстремум нүктелері аймағында туынды таңбаларының комбинациясы мен экстремум сипаты (максимум немесе минимум) арасында қандай да бір байланыс бар ма? Егер осындай байланыс тапсаңдар, онда оны түсіндіріңдер.

f(x)  функциясының х0 нүктесіне жақын аймағындағы барлық нүктелерінде (х0 нүктесінің өзі болмауы да мүмкін) туындысы бар болсын (дифференциалданатын). Алдыңғы параграфтағы теореманы, сондай-ақ локальді экстремумның анықтамасын ескеріп, төмендегі локальді экстремумның бар болуының жеткілікті шартын құрастыруға болады.

Адамзат іс-әрекетінің түгелге дерлік саласында экстремум мәселесі өзекті мәселе болып табылады. Жеке адам немесе адамдар тобы алдына қандай мақсат қойса да, алдымен аз шығынмен жоғары табыс әкелетін жоспар құрады. Экстремумдарды табуға арналған есептерді шешудің жалпы қағидаларын қарастыратын математиканың бүтін бір бағыты бар. 

Ол – «Оңтайлы басқару теориясы». Мұндай есептерде функцияның минимум немесе максимум нүктелерін табу өте көп айнымалыларға тәуелді болатыны түсінікті. Бүгінгі таңда біз алдымызға қарапайым мақсат қоямыз: бір айнымалысы бар функциялардың экстремумдарын табуды үйренеміз.

1-анықтама

Егер функцияның анықталу облысының ішкі нүктесі кему аралығының оң жақ шеті және өсу аралығының сол жақ шеті болса, ол локальді минимум нүктесі деп аталады.

2-анықтама

Егер функцияның анықталу облысының ішкі нүктесі өсу аралығының оң жақ шеті және кему аралығының сол жақ шеті болса, ол локальді максимум нүктесі деп аталады.

Теорема (экстремумның жеткілікті шарты)

f(x)  функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болсын.

а) Егер х0 нүктесі f´(x)>0 теңсіздігі орындалатындай аралықтың оң жақ ұшы және f´(x)<0  теңсіздігі орындалатындай аралықтың сол жақ ұшы болса, онда х0 – локальді максимум нүктесі болады.

ә) Егер х0 нүктесі f´(x)<0  теңсіздігі орындалатындай аралықтың оң жақ ұшы және f´(x)>0  теңсіздігі орындалатындай аралықтың сол жақ ұшы болса, онда  х0– локальді минимум нүктесі болады.

Теореманы неғұрлым қатаң түрде тұжырымдасаң, соғұрлым оны оқырмандардан мағынасын жасырғандай боласың. Шындығына келгенде барлығы да қарапайым. Кризистік нүктелерді орналастырамыз, аралықтардағы таңбаны анықтаймыз және анықталу облысының сол жақ ұшынан айнымалысымен оң жақ ұшына қарай қозғаламыз. Егер кризистік нүктеден өткенде туындының таңбасы «+»-тен «–»-ке ауысса, ол кризистік нүкте максимум нүкте; егер «–»-тен «+»-ке ауысса, ол кризистік нүкте минимум болады. Бұл алгоритм бойынша жұмыс – ол түсінікті. Туындының таңбасының «+»-тен «–»-ке ауысуы өсу кемумен алмасқанын білдіреді. Максимум осылай табылды. Ал таңбаның «–»-

тен «+»-ке ауысуы кему өсумен алмасқанын білдіреді. Минимум осылайша табылады. Егер кризистік нүктеден өткенде туындының таңбасы өзгермесе, онда ол кризистік нүкте экстремум нүкте болмайды.

Көптеген есептерде, егер бірсарындылық аралықтары табылған болса, онда локальді экстремумдарды табу мәселесі бірден шешіледі. Құрастырылған теореманың көмегімен функцияның өсу және кему аралығын тапқаннан кейін, бірден локальді экстемумдарды табуға мүмкіндік пайда болады.

1-мысал

fx=x4+4x3 функциясының локальді экстремумдары мен экстремум мәндерін табыңдар.

Шешуі. Бірсарындылықты анықтау (алдыңғы параграфтағы келтірілген 1-мысал) мынадай нәтиже береді:

1-сурет

Осылайша, -;-3– кему интервалы, -3;+– өсу интервалы. Экстремумның бар болуы жеткілікті шартының теоремасы бойын­ша берілген функцияның, біріншіден, локальді максимум нүктесі болмайды, 

екіншіден, локальді минимум нүктесі x=-3 бар. Локальді минимум мәні f-3=-34+4-33=-27.

Ескерту. Егер екі түрлі мағына бермейтін болса, онда «локальді экстремум», «локальді минимум» не «локальді максимум» сөздерінің орнына сәйкесінше «экстремум», «минимум» немесе «максимум» сөздерін қолдануға болады.

2-мысал

fx=3x-sin2x функциясының локальді экстремум нүктелерін анықтаңдар.

Шешуі. Бірсарындылыққа зерттеу (алдыңғы параграфта келтірілген 3-мысал) мынадай нәтиже береді:

-π12+πk;π12+πk– кему аралығы, π12+πk;11π12+πk– өсу аралығы, k.

Демек, π12+πk нүктесі минимум нүктесі болады (2-суретте қызыл түспен көрсетілген). Егер солдан оңға қарай қозғалсақ, онда x=π12+πk нүктесінде туындының таңбасы теріс­тен оң шамаға өзгереді.

Бұдан -π12+πk және 11π12+πk топтамасы координаттық түзуде бірдей мәнге ие болатынын түсіну қиын емес (2-суретте жасыл түспен көрсетілген). Экстремумның жеткілікті шарты бойынша x=-π12+πk, k нүктесі максимум нүктесі болады.

3-мысал

р параметрінің қандай мәндерінде fx=px3-5p2x2+3x-5 функциясының x=3 мәні минимум нүктесі болады?

Шешуі. р параметрінің кез келген мәні үшін f(x) функциясы барлық нақты сандар жиынында үзіліссіз және дифференциалданады. Экстремумның кез келген нүктесі кризистік нүкте болып табылады. Демек, f'x=3px2-10p2x+3 туындының x=3 нүктесіндегі мәні нөлге тең: f'3=3p·32-10p2·3+3=0.

Осыдан, p=1 немесе p=-0,1.

Егер p=1 болса, онда f'x=3x2-10x+3=3x-13x-3. Туындының таңбасын зерттеу, мұндай жағдайда x=3 нүктесі минимум нүктесі болатынын білдіреді.

Егер p=-0,1 болса, онда f'x=-0,3x2-0,1x+3=-0,3x+103x-3. Туындының таңбасын зерттеу, мұндай жағдайда x=3 нүктесінің максимум нүктесі болатынын білдіреді.

Жауабы: p=1.

Есептер

Берілген есептерде және алдағы уақыттарда да экстремум нүктелерін анықтау барысында осы нүктелердің максимум немесе минимум нүктесі болатынын немесе болмайтынын көрсету қажет.

1-бөлім

1. (1) 3-суретте y=fx, Df:-7;7 функ­циясының графигі бейнеленген.

3-сурет

а)  f(x) функциясының барлық кризистік нүктелерін көрсетіңдер.

ә) локальді экстремум нүктелерін көрсетіңдер.

б) f'x0, f'x<0, f'x0, f'x>0 теңсіздіктерін шешіңдер.

2. (3) 4-суретте y =  f(x) , D(f ):(−6;6). функцияның   f(x) туындысының графигі көрсетілген.

4-сурет

а)  f(x) функциясының кризистік нүктелерін көрсетіңдер;

ә)  f(x) функциясының бірсарындылық аралығын көрсетіңдер;

б)  f(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін көрсетіңдер.

3. (2) а) y=8x2+10x+3 квадрат үшмүшелігі берілген. Экстремум нүктеле­рін және осы экстремум нүктелеріндегі мәнін есептеңдер.

ә) экстремумның жеткілікті шартын пайдаланып, келесі тұжырымды дәлелдеңдер: «Егер a>0 болса, онда y=ax2+bx+c квадрат үш мүшелігі x0=-b2a нүктесінде ең кіші мәнін қабылдайды. Үшмүшеліктің ең кіші мәні y0=4ac-b24a».

4. (1) Функциялардың кризистік нүктелерін анықтаңдар. Олардың ішінен экстремум нүктелерін табыңдар. Экстремумның әрбір нүктесіндегі функцияның мәнін анықтаңдар:

а) fx=4x3-6x2+20x+9;

ә) gx=4x3-6x2+18x+9;

б) hx=4x3-6x2-72x+9.

5. (2) y=x3-6x2-9x+1 функциясының -35;5 аралығындағы экстремум нүктелерін анықтаңдар.

6. (2) Локальді максимум нүктесінде fx=x3x+34 функциясының мәнін табыңдар.

7. (3) Функциялардың локальді экстремум нүктелерін табыңдар:

а) fx=sinx;      ә) gx=cos2x-π3-2x

б) hx=sin3xcos3π7-cos3xsin3π7+332x.

8. (2) Функциялардың локальді экстремум нүктелерін және экстремум мәндерін табыңдар:

а) fx=x+1x;                        ә) gx=xx2+1;

б) hx=x-28-xx2;                в) ux=2x-1x2.

9. (1) а) Функцияның локальді экстремум нүктелерін және экстремум мә­нін табыңдар: gx=14x+4-x.

(2) ә) a және b оң сандары берілсін. gx=ax+b-x функциясының локальді экстремум нүктелерін және экстремум мәндерін табыңдар.

10. (1) F(x) функциясының туындысы fx=-3x2+10x-3. F(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін табыңдар.

11. (3) Функциялардың кризистік нүктелерін анықтаңдар:

а) fx=-sinx+14cosx-12x-18;

ә) gx=sin4x-2sin2x+2cos2x-cos4π.

12. (3) a параметрінің қандай мәнінде x=13 нүктесі y=ax2-52x+777 функциясының кризистік нүктесі болады? a-ның табылған әрбір мәнінде x=13 нүктесі берілген функция үшін максимум не минимум нүктесі болатынын анықтаңдар.

13. (3) р параметрінің қандай мәнінде x0=p 
нүктесі f(x)  функциясының минимум нүктесі болады, егер fx=2x3-3p-3x2-18px-7 болса?

2-бөлім

14. (1) 5-суретте y = f (x), D(f ): [−7;7] фун­кциясының графигі кескінделген.

          5-сурет

 а)  f(x) функциясының барлық кризистік нүктелерін көрсетіңдер.                                                                                 ә)  f(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін көрсетіңдер.
​ в) f(x) > 0, f(x)  0, f(x) < 0, f(x)  0 теңсіздіктерін шешіңдер.

15. (3) 6-суретте f(x), D(f ):(−5;6) функция­сының f'x туындысының графигі кес­кінделген..

      6-сурет

а) f(x) функциясының кризистік нүктелерін анықтаңдар.

ә) f(x) функциясының бірсарындылық аралығын көрсетіңдер.

б) f(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін табыңдар.

16. (2) а) у=3х2+4х+1 үшмүшелігі берілген. Экстремум нүктесін және экстремум нүктесіндегі үшмүшеліктің мәнін табыңдар.

ә) Экстремумның жеткілікті шартын пайдаланып, берілген тұжырымды дәлелдеңдер: «Егер a<0 болса, онда x0=-b2a нүктесінде y=ax2+bx+c квадрат үшмүшелігі ең үлкен мән қабылдайды. Квадрат үшмүшеліктің ең үлкен мәні y0=4ac-b24a».

17. (1) Функциялардың кризистік нүктелерін анықтаңдар. Олардың ішінен экстремум нүктелерін және функциялардың экстремум нүктелеріндегі мәндерін табыңдар:

а) fx=-x3-5x2-3x+1;

ә) fx=-10x3-5x2-3x+1;

б) fx=-x3-5x2-253x+1.

18. (2) -6;-15 аралығында y=-x3-9x2-3x+100 функциясының экстремум нүктелерін табыңдар.

19. (2) Локальді минимум нүктесінде fx=x-2411-x5 функциясының мәнін табыңдар.

20. (3) Функциялардың локальді экстремум нүктелерін анықтаңдар:

а) fx=cosx;

ә) gx=34x-sinπ4-x2;

б) gx=cos2x-π3+cos2x+π6-2x.

21. (3) Функциялардың локальді экстремум нүктелерін анықтаңдар және экстремум мәндерін табыңдар:

а) fx=x2+16x;               ә) gx=x+7x2+x-6;                      б) hx=x3+2x2x-12;                  в) ux=2-x33-x2.

22. (2) Функцияның локальді экстремум нүктелерін және экстремум мәндерін табыңдар: hx=3arccos-21-x2.

23. (1) F(x) функциясының туындысы fx=x-11x-1002x-87. Берілген F(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін табыңдар.

24. (3) Функциялардың кризистік нүктелерін анықтаңдар:

а) gx=5cos3x-π6-3cos5x+π3;

ә) hx=13cos3x+17cos7x-25cos5x-27.

25. (3) a параметрінің қандай мәндерінде x=-50 нүктесі y=ax2+4a3x-1 функциясының кризистік нүктесі болады? a-ның табылған әрбір мәнінде x=-50 нүктесі берілген функцияның максимум не минимум нүктесі болатынын анықтаңдар.

26. (3) р параметрінің қандай мәнінде fx=x33-p+52x2+5px+9 функциясының экстремум нүктелері болмайды?

27. (2) 1, 2, 3, … 19 сандар тізбегінен барлық жұп сандарды, сонымен қатар 19–x болғанда 3-ке бөлінетін х-тің барлық мәндерін сызып тас­таңдар. Неше сан қалды?

28. (3) Мамыр айының соңғы аптасында «Балалар әлемінде» сатылған бөбектерге арналған суда жүзетін үрлемелі ойыншықтардың саны күніне бірдей санға артып отырды. Егер 27 мамырда 45 ойыншық, 29 мамырда 405 ойыншық сатылса, онда 31 мамырда сатылған ойыншықтар санының 30 мамырда сатылған ойыншықтар санына қатынасын анықтаңдар.

29. (2) Велосипедші мотоциклшімен салыстырғанда әр минут сайын 500 м кем жол жүреді, сондықтан 120 км жолға мотоциклшімен салыстырғанда 2 сағ артық уақыт жұмсайды. Велосипедшінің жылдамдығын табыңдар.

30. (2) Теңдеулер жүйесін шешіңдер:
6x+y+5x-y=7,3x+y-2x-y=-1.

Жауаптары

1.а)x-4;-2;0;2;4. ә)x-4;2жергілікті максималды нүктелер; x-2;4жергілікті минималды нүктелер. б) f'(x)>0x(-7;-4)(-2;0)(0;2)(4;7);f'(x)<0x(-4;-2)(2;4); f'(x)0x(-7;-4](-2;2)[4;7);f'(x)0x[-4;-2)(2;4]0.  2.а)x-4;-2;3. ә)Интервалы возрастания (-6;-4);(-2;6);түсу аралығы (-4;-2). б)x=4максималды нүкте; x=2минималды нүкте.3.а)x0=-58минималды нүкте,y0=-18. 4.а)сыни нүктелер жоқ; ә) сыни нүктелер жоқ; б)x=2жергілікті максималды нүкте,h(-2)=93; x=3минималды ұпай,h(3)=-153. 5. Минималды ұпай x=2+7. 6.f(-3)=0. 7.а)π2+2πkмаксималды ұпайлар, -π2+2πkминималды ұпай,мұндағы kZ;ә)-5π24+πk минималды ұпай,π24+πk  максималды ұпайлар,мұндағы kZ  ;б)-17π126+2πk3минималды ұпай,53π126+2πk3максималды ұпайлар,мұндағы kZ.

8.а)x=1жергілікті минималды нүктелер,f(1)=2; x=1жергілікті максималды нүктелер,f(1)=2;ә)x=1жергілікті минималды нүктелер,g(1)=12;x=1жергілікті максималды нүктелер,g(-0,64)=1;б)x=165жергілікті максималды нүктелер,h(x)=916;в) x=12минималды нүкте, ux=0.9.а)x=0максималды нүкте,g(0)=2; ә)x=b-14a2максималды нүкте, gb-14a2=ab+14a.10.Точкаx=13жергілікті минималды нүктелер,x=3жергілікті максималды нүктелер.11.а)x=-π2+2πk; ә)x1=πk,x2=-π4+πk,x3=-π8+πk2 ,мұндағы  kZ.12. a = 2 үшін, х = 13 нүктесі ең төменгі ток болып табылады.13.p>3.14.а)-5;-4;-1;2;5;4сыни нүктелер;ә)x-5;-1;5жергілікті максималды нүктелер; x-4;4жергілікті минималды нүктелер.б) f'(x)>0 x(-7;-5)(-4;-1)(4;5); f'(x)0 x(-7;-5][-4;-1]{2}[4;5); f'(x)< 0 x(-5;-4)(-1;2)(2;4)(5;7);f'(x)0 x[-5;-4][-1;4][5;7).15.а)x-3;1;4сыни нүктелер.ә)x (-5;1) түсу аралығы, x (1;4 ) ұлғайту аралығы; x  (4;6 )түсу аралығы.б)x= 1 -минималды нүкте,x=4 максималды нүкте.

16. а) x0=23 максималды нүкте, y0=73.17. а) x=-3  минималды нүкте, f(-3)=-8 ;x=-13  максималды нүкте,f-13=4027 ; ә) сыни нүктелер жоқ; б)x=-53сыни нүкте, экстремалды емес нүкте. 18. минималды нүкте x=-3-22. 19. f(2)=0.  20. а) 2πk   максималды нүкте, π+2πk  минималды нүкте, мұндағы kZ  ; ә) 5π6+4πk минималды нүкте, 13π6+4πk точки максимумов, мұндағы kZ ; б) 5π24+πk минималды нүкте, 11π24+πk максималды нүкте, мұндағы kZ.21.а)x=2минималды нүктеа,f(2)=12; ә) x=-13минималды нүкте,g(-13)=-125;x=1максималды нүкте,g(-1)=-1;б)x=-1максималды нүкте,h(-1)=0,25; x0;4минималды нүкте,h(0)=0, h(4)=1023;в)x=5максималды нүкте,u(5)=-274. 22. x=32- минималды нүкте, h32=π36-1.23. x=8 максималды нүкте, x=11  минималды нүкте. 24. а) x1=5π48+πk4;  ә) x=πk5 , где kZ 25. a=±5, а = 5 болғанда, х = -50 нүктесі ең төменгі ток болып табылады,  а = 5 болғанда, х = -50 нүктесі максималды ток болып табылады. 26. p=5 .   27. 6.   28. 3. 29. 30 км/с.  30. (2;1).

Өтінемін күте тұрыңыз