Тәуелсіз оқиғалар және олардың көбейтіндісі

1-мысал

Бірінші дорбада 10 сары және 12 жасыл шар бар. Ал екінші дорбада 7 сары және 22 жасыл шар бар. Әр дорбадан кез келген бір-бір шардан алып шығады. Екі шардың да сары болып шығуының ықтималдығы қандай?

Шешуі. Бұл ықтималдықтың классикалық анықта­ма­сымен шығатын қарапайым есеп. Бірі бірінші қаптан, ал екіншісінің екінші қаптан алынуы мүмкін шар жұптарының жалпы саны 22·29, ал екеуі де сары болатын осындай жұптың жалпы саны 10·7. Сонда екі шардың да сары болып шығуының ықтималдығы 10·722·29.

Бұл бөлшек 1022 және 729 бөлшектерінің көбейтіндісі екенін байқауға болады, мұндағы бірінші бөлшек 1022 бірінші қаптан алынған шардың сары болып шығуының ықтималдығы, ал екінші бөлшек 729 екінші қаптан алынған шардың сары болып шығуының ықтималдығы. Сонымен, егер бірінші қаптан алынған шардың сары болып шығу оқиғасын А оқиғасы, ал екінші қаптан алынған шардың сары болып шығу оқиғасын В оқиғасы деп белгілесек, онда бұл оқиғалардың көбейтіндісі AB екі шардың да сары болатынын көрсетеді және 10·722·29=P(AB)=P(A)P(B)=1022·729 болады екен.

2-мысал

Екі мерген әрқайсысы өз нысанасына бір-бірден оқ атады. 1–мергеннің өз нысанасына тигізу ықтималдығы 0,8, ал 2-мергеннің нысанасына тигізу ықтималдығы 0,7. Екі мергеннің де өз нысаналарына тигізу ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Егер 1-мергеннің өз нысанасына тигізу оқиғасын А-оқиғасы деп, ал 2-мергеннің өз нысанасына тигізу оқиғасын В-оқиғасы деп белгілесек, онда «екі мергеннің де өз нысаналарына тигізу» оқиғасы A және B оқиғаларының көбейтіндісі болады. A және B оқиғалары тәуелсіз, сондықтан P(AB)=P(A)P(B)=0,8·0,7=0,56.

3-мысал

Ойын сүйегі 3 рет лақтырылады. Бірінші рет 5 саны, екінші рет 3-ке еселі сан, ал үшінші рет тақ сан түсуінің ықтималдығы неге тең екенін табыңыз.

Шешуі. Бірінші рет 5 санының түсу ықтималдығы 16-ге тең. 3 пен 6 сандары 3-ке еселі, осы себепті екінші жолы 3-ке еселі сан түсуінің ықтималдығы 26, ал сүйектегі тақ сандар 1,3 және 5 болғандықтан, үшінші рет тақ сан түсуінің ықтималдығы 36. Лақтырулар бір-біріне қатыссыз, сол се­беп­ті үш оқиғаның қатар пайда болу ықтималдығы 16·26·36=136 көбейтіндісіне тең.

Бұл теореманы тәуелсіз оқиғалардың көп санына да жалпылауға болады: әрбір жұптары өзара тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең

Тағы да назар аударыңдар, P(AB)=P(A)P(B) теңдігі кез келген жағдайда орын ала бермейді, ол тек тәуелсіз оқиғалар үшін ғана дұрыс болады! Мысалы, екі оқиға A және B үйлесімсіз болса, онда P(AB)=0. Шындығында, A және B оқиғалары үйлесімсіз болса, онда олар бір мезетте қатар пайда бола алмайды (бірі екіншісінің болуын жоққа шығарады), яғни AB оқиғасы мүмкін емес. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы, әрине нөлге тең.

Анықтама

Бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығына әсерін тигізбейтін оқиғаларды тәуелсіз оқиғалар деп атайды.

1-теорема

Тәуелсіз екі оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: P(AB)=P(A)P(B).

Шындығында P(AB)=P(A)P(B) теңдігі кез келген жағдайда орын ала бермейді, ол тек тәуелсіз оқиғалар үшін дұрыс болады.
​Мысалы, жоғарыдағы мысалдың оқиғалары тәуелсіз, себебі бір қаптан алынған шар екінші қаптан шар таңдауға қатысы жоқ. Тәуелсіздікті сынақ шарттары негізінде логикалық пайымдау арқылы анықтаймыз.

Оқиғалар қосындысының ықтималдығы

4-мысал

Сынақ тиынның 3-рет лақтырылуынан тұрсын делік: «елтаңба» түссе, «0» деп, ал «цифр» түссе, «1» деп жазайық. Сонда мүмкіндіктері бірдей нәтижелер жиыны 8 тізбектен тұрады: {000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111}. Егер {000, 001, 010} тізбектерінің бірі орын алса, онда А оқиғасы, ал {000, 010, 100, 110} тізбектерінің бірі орын алса, онда В оқиғасы орын алады деп қабылдайық. A+B оқиғалар қосындысының ықтималдығы неге тең екенін табыңыз.

Шешуі.және B оқиғалар қосындысы дегеніміз, ол A және B жиындарының бірігуі. Бұл дегеніміз оқиғалар қосындысын тым болмағанда А, немесе В жиынына жататын элементтерден тұратын жиын ретінде қарастырамыз, яғни А және В оқиғалар қосындысын немесе А оқиғасына, немесе В оқиғасына, немесе екеуіне де жататын элементтерден тұратын жиын ретінде қарастырамыз. Қарастырылып отырған мысалда A+B={000, 001, 010, 100, 110}.

А жиыны 3 элементтен, В жиыны 4 элементтен тұрады. Егер А={000, 001, 010} жиынының 3 элементіне B={001, 010, 100, 110} жиынының 4 элементін формальды түрде қоса салсақ, онда 7 элементтен тұратын {000, 001, 010, 001, 010, 100, 110} жиынтық шығады. Мұндағы AB={001, 010} көбейтіндісінің элементтері жиынтықта 2 рет кездеседі. Егер «артық» екі рет кездесетін элементтерді алып тастасақ, AB={000, 001, 010, 100, 110} онда қосындысы шыға келеді. Егер жиын элементтерінің санын модуль белгісімен белгілесек (мысалы A жиын элементтерінің санын A деп), онда A+B=A+B-AB теңдігі алынады (5=3+4-2). Егер осы теңдіктің екі жағын да нәтижелердің жалпы санына бөлсек, онда P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) теңдігі бір сынақта орын алуы мүмкін кез келген оқиғаларда дұрыс болатындығын дәлелдеуге болады. Бұл қағиданы дәлелдеусіз теорема түрінде береміз.

5-мысал

Екі мерген өз нысаналарына бір-бірден оқ атады. Бірінші мергеннің дәл тигізу ықтималдығы 0,8 ал екінші мергеннің дәл тигізу ықтималдығы 0,7.

а) Екі мергеннің де дәл тигізу ықтималдығы неге тең?

ә) бірінші мергеннің мүлт кету, ал екінші мергеннің дәл тигізу ықтималдығы неге тең?

б) Тек бір мергеннің ғана дәл тигізу ықтималдығы неге тең?

в) Тым болмағанда бір мергеннің дәл тигізу ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Бірінші мергеннің дәл тигізу оқиғасын A- оқиға деп, ал екінші мергеннің дәл тигізу оқиғасын B- оқиға деп белгілейміз.

Сонда A және B оқиғалары бірінші және екінші мергеннің сәйкесінше мүлт кеткендерін көрсететін оқиғалар. 

а) Біз бұл есептің шешімін параграфтың 2–мысалында келтіргенбіз: оқиғалар тәуелсіз болғандықтан, PAB=PAPB=0,8·0,7=0,56, мұндағы AB оқиғасы екі мергеннің де дәл тигізуін көрсетеді.

ә) Бірінші мергеннің мүлт кету, ал екінші мергеннің дәл тигізу оқиғасы AB көбейтіндісі. A және B оқиғалары тәуелсіз бол­ғандықтан,A және B да тәуелсіз. Яғни,  PAB=PAPB. Қарама-қарсы оқиғалардың қосындысы туралы 5-теорема бойынша  PAB=PA=1-P(A)=1-0,8=0,2. Осыдан:  PAB=PAPB=0.2·0.7=0.14.

б) Тек бір мергеннің ғана дәл тигізуі деген келесі оқиғалар­дың біріне сәйкес: «бірінші мерген дәл тигізді, ал екінші мерген мүлт кетті» және «екінші мерген дәл тигізді, ал бірінші мерген мүлт кетті».

«Бірінші мерген дәл тигізді, ал екінші мерген мүлт кетті» оқиғасы AB көбейтіндісін, ал «екінші мерген дәл тигізді, ал «бірінші мерген мүлт кетті» оқиғасы AB көбейтіндісін береді. Яғни, тек «бір мергеннің ғана дәл тигізу» оқиғасы қосындысына тең, және мұндағы AB және AB оқиғалары үйлесімсіз. Үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы туралы 3-теоремаға сәйкес PAB+AB=PAB+PAB==PAPB+PAPB==0,80*0,3+0,20*0,7=0,38

в) 1-әдіс. «Тым болмағанда бір мерген дәл тигізді» оқиғасы A және B оқиғаларының қосындысы (оқиғалардың қосындысы туралы бөлімнің 1.3 п.). 2 – теорема бойынша P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,8+0,7--0,56=0,94.

2-әдіс. «Тым болмағанда бір мерген дәл тигізді» оқиғасы «бірінші мерген дәл тигізді, ал екінші мерген мүлт кетті», «екінші мерген дәл тигізді, ал бірінші мерген мүлт кетті» және «екеуі де дәл тигізді» деген AB+AB+AB үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы.

Бұл оқиғалар бір мезетте болуы мүмкін емес. Яғни үйлесімсіз оқиғалар туралы 4–теорема бойынша PAB+AB+AB=PABPABPAB==PAPB+PAPB+PAPB==0,8·0,3+0,2·0,7+0,8·0,7=0,94

3-әдіс. «Тым болмағанда бір мерген дәл тигізді» оқиғасы «екеуі де мүлт кетті» деген C оқиғаға қарама-қарсы оқиға, демек 2-теорема бойынша PC=1-PC. «Екеуі де мүлт кетті» оқиғасы (C) «бірінші мерген мүлт кетті» – A және «екінші мерген мүлт кетті» – B деген тәуелсіз оқиғалардың көбейтіндісі. Яғни PC=PAPB=0,2·0,3=0,06, осыдан PC=1-PC=1-0,06=0,94 .

2-теорема

Берілген сынақта орын алуы мүмкін кез келген А және В оқиғалары үшін Р(А+В)=P(A)+P(B)–P(AB) теңдігі орындалады.

3-теорема

Берілген сынақта орын алуы мүмкін кез келген A және B үйлесімсіз оқиғалар үшін мына теңдік орындалады: P(A+B)=P(A)+P(B).

Үйлесімсіз оқиғалар P(AB)=0 теңдігін ескерсек, 2-теореманың дәлелдеуі 1–теоремадан бірден шығады. Үйлесімсіз оқиғалар қосындысы туралы теорема оқиғалардың үлкен санында да дұрыс.

4-теорема

Берілген сынақ нәтижесінде орын алатын, әрбір жұптары өзара үйлесімсіз оқиғалар үшін олардың қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдық­тарының қосындысына тең.

5-теорема

Қарама-қарсы оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

5-теореманы дәлелдейік. A мен A– қарама-қарсы оқиғалар болсын. Бір жағынан қарама-қарсы оқиғалардың қосындысы рас оқиға болып табылады, яғни P(A+  A  )=1. Екінші жағынан 3-теоремаға сәйкес P(A)+P(A)=P(A+  A  ). Демек, P(A)+P(A)=1. Теорема дәлелденді. Практикада бұл формула P(A)=1-P(A) түрінде қолданылады.

Есептер

1. Бір дорбада 5 сары және 6 жасыл шар бар. Ал екінші дорбада 7 сары және 11 жасыл шар бар. Әр дорбадан кез келген 1 шардан таңдалады. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) екі шардың да сары болуы;ә) екі шардың да бір түсте болуы.

2. Сынақ ойын сүйегін 3 рет лақтырудан тұрады. Үш ретінде де түскен сандардың бәрінің де жұп болуының ықтималдығы қандай екенін табыңдар.

  • 1/8
  • 3/5
  • 6/7

3. 3 жәшіктің әрқайсысында 12 бұйымнан бар. 1-ші жәшіктегі 12 бұйымның 2-і ақаулы, 2-ші жәшіктегі 12 бұйымның 1-і, ал 3-ші жәшіктегі 12 бұйымның 3-і ақаулы. Әр жәшіктен қарамай 1-ден бұйым алды. Төмендегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) Барлық 3 бұйым да ақаулы болып шығады;

ә) Барлық 3 бұйым да ақаусыз болып шығады;

б) 1-жәшіктегі бұйым ақаулы, ал 2 және 3-жәшіктегі бұйымдар ақаусыз болып шығады;

в) Үш бұйымнан тек біреуі ғана ақаусыз болып шығады.

4. (3) Екі мерген садақ атудан жарысуда. Бірінші мергеннің садақпен тигізу ықтималдығы 0,8-ге тең, ал екіншісінің тигізу ықтималдығы 0,9-ға тең. Егер мергендердің әрқайсысы бір реттен оқ ататын болса, онда төмендегілердің ықтималдығын табыңдар:

а) екі мергеннің де нысанаға дәл тигізуі;

  • 0,06
  • 0,72
  • 0,18

ә) тек бірінші мергеннің нысанаға тигізуі;

  • 0,06
  • 0,08
  • 0,11

б) тек екінші мергеннің нысанаға тигізуі;

  • 0,78
  • 0,38
  • 0,18

в) екі мергеннің де тигізе алмауы.

  • 0,06
  • 0,02
  • 0,09

5. (4) Әлем кубогінің қорытынды кезеңіне қатысу үшін, спортшыға үш тәуелсіз кезеңіне қатысу қажет. Спортшының осы үш кезеңнің біріншісінен жеңу ықтималдығы 0,8-ге тең. Ал әрбір келесі күрделі кезеңдерден жеңіп шығу ықтималдығы әр жолы 0,1-ге кеміп отырады. Екінші және үшінші кезеңдерге қатысу, алдыңғы кезеңдердің нәтижелеріне тәуелсіз. Келесі оқиғалардың ықтималдықтары қандай?

а) спортшының іріктеудің барлық кезеңдерінде жеңіске жетуі;

ә) спортшының екінші және үшінші кезеңдерде ғана жеңіске жетуі;

б) спортшының ешбір кезеңде жеңіске жете алмауы;

в) спортшының кез келген үш кезеңнің екеуінде жеңіске жетуі?

6. Бір дорбада 8 сары және 6 жасыл шар бар. Ал екінші қапта 6 сары және 11 жасыл шар бар. Әр дорбадан кездейсоқ бір-бір шардан таңдалады. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) бірінші дорбадағы шар сары, ал екінші дорбадағы шар жасыл болуы;

  • 44/119
  • 2 + 22/119
  • 4 + 44/119

ә) екі шардың да әр түсте болуы.

  • 31/119
  • 62/119
  • 44/119

7. Сынақ ойын сүйегін 3 рет лақтырудан тұрады. Төмендегі 3 оқиғаның: 1-ші лақтырылуда тақ сан түседі, 2-ші лақтырылуда 5-тен кем емес сан түседі, 3-ші лақтырылуда 2 саны түсуінің – қатар орындалуының ықтималдығы неге тең екенін табыңдар.

  • 35/36
  • 5/36
  • 1/36

8. 3-жәшіктің әрқайсысында 20 піскен, 10 шикі алма бар. Әр жәшіктен қарамай бір-бірден алма алады. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңыз:

а) 1-ші және 3-ші жәшіктерден алынған алмалар шикі, ал 2-жәшіктен алынған алма піскен болуы;

ә) Барлық алынған үш алманың тек қана екеуінің шикі болуы.

9. Мергеннің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,7. Мерген 2 оқ атады. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) екі рет мүлт кетті;

ә) тек қана 1 рет мүлт кетті;

б) екі рет дәл тигізді.

10. Мерген 30 қадам жерден асқабаққа 0,9 ықтималдықпен, ал алмаға 0,4 ықтималдықпен дәл тигізе алады. Мерген 1 рет асқабаққа, 2 рет алмаға оқ атпақшы. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) ол асқабаққа дәл тигізе алмайды;

ә) алмаға дәл тигізді;

б) алмаға ғана дәл тигізді;

в) ол тек біреуіне ғана дәл тигізді;

г) ол тым болмағанда біреуіне ғана дәл тигізді .

11. 2037 жыл. Чемпиондар лигасының ширек финалы өтпекші. «Қайрат» – «Реал Мадрид», «Манчестер Юнайтед» – «Бавария», «Челси» – «Ювентус», «Зенит» – «Аякс» командалары кездеспекші. Жұптағы бірінші команданың екіншісін жеңу ықтималдығы сәйкесінше 0,9, 0,2, 0,5 және 0,3. Төменгідегі ықтималдықтарды табыңдар:

а) А – «Қайрат» «Реал Мадрид» командасын жеңе алмайды;

  • 0,1
  • 0,3
  • 0,7

ә) в – «Қайрат» командасы «Реал Мадрид» командасын жеңе алмайды және «Манчестер Юнайтед» «Баварияны» ұтады;

  • 0,12
  • 0,22
  • 0,02

б) С – «Қайрат» командасы «Реал Мадрид» командасын жеңеді, «Ювентус» «Челсиден» жеңілмейді, ал голландықтар ресейліктерден жеңілмейді.

  • 0,25
  • 0,252
  • 0,3

x-1=x2?

  • 2
  • 1
  • көптеген

13. Егер қияр сатып алуға кеткен шығындар 92%-ға, ал 1 килограмм қиярдың бағасы 60%-ға артса, онда сатып алынған қиярдың салмағы қаншаға көбейгенін табыңдар.

  • 8%
  • 20%
  • 92%
  • 40%

Тапсырмаларға жауаптар:

1. а) 35198 ; б)101198 . 2. 18 . 3. а)1288 ; ә)5596 ; б)1196 ; в)103288 . 4. а) 0,72 ; ә) 0,08; б) 0,18 ; в) 0,02.

5. а) 0,336; ә) 0,084; б) 0,024; в) 0,452. 6. а) 444119 ; ә)62119 . 7.136 . 8. а)227 ; ә ) 29 .

9. а) 0,09; ә) 0,42; б) 0,49. 10. а) 0,1; ә) 0,4; б) 0,04; в) 0,58 ; г) 0,94. 11. а) 0,1; ә) 0,02 ; б) 0,252 .

12. 2. 13. на 20%.

Өтінемін күте тұрыңыз